شرایط بهینگی KKT در مسائل بهینه‌سازی چندهدفه بازه‌ای مقدار
در این تحقیق به بررسی شرایط بهینگی KKT در مسائل بهینه‌سازی چندهدفه بازه‌ای مقدار می پردازیم. ابتدا مفاهیم بهینه‌سازی چندهدفه و مسایل بازه ای مقدار را بررسی می‌کنیم. سپس برخی تعاریف و مبانی اولیه مسائل بهینه‌سازی چندهدفه بازه ای را ارائه می‌دهیم. سپس به معرفی مفهوم پیوستگی و مشتق‌پذیری برای توابع بازه‌ای مقدار می‌پردازیم. دو نوع جواب بهینه پارتو (جواب بهینه پارتو نوع اول، جواب بهینه پارتو نوع دوم) را برای مسائل بهینه‌سازی چندهدفه بازه‌ای مقدار معرفی می‌کنیم. در نهایت، یک مسأله بهینه‌سازی چندهدفه با توابع هدف بازه‌ای مقدار را در نظر می‌گیریم. و شرایط KKT را برای این مسأله در دو حالت توابع هدف به‌طور ضعیف مشتق‌پذیر و توابع هدف H-مشتق‌پذیر باشند، بیان می‌کنیم.
مقدمه
در بسیاری از مسائل بهینه سازی که تاکنون دیده‌ایم یک هدف (معمولا سود) در نظر گرفته می‌شود. اما در اغلب مسائل، نتیجه‌گیری‌ها وقتی مطلوب و مورد رضایت تصمیم‌گیرنده است. که تصمیم‌گیری بر اساس چندین هدف بررسی و تجزیه و تحلیل شده باشد. به‌عنوان مثال در مسائل برنامه‌ریزی تولید اهدافی مانند حداکثر کردن درآمد، حداقل کردن هزینه، کاهش ضایعات و … مدنظر است که منجر به ایجاد مسائل بهینه‌سازی چندهدفه می‌شود.
به‌طور کلی در یک مسأله بهینه‌سازی چندهدفه تصمیم‌گیرنده سعی می‌کند چند تابع هدف را که معمولا با هم در تضاد هستند، به‌طور هم‌زمان بهینه کند و بهترین جواب ممکن را انتخاب کند. این‌گونه مسائل معمولا دارای چندین جواب بهینه هستند. این جواب‌ها که تعداد آن‌ها می‌تواند از تعداد کمی تا بی‌نهایت تغییر کند می‌توانند کاملا متفاوت باشند. تصمیم‌گیرنده برای انتخاب این جواب‌ها می‌تواند به‌صورت دلخواه یا سیستماتیک عمل کند. برای یک مسأله بهینه‌سازی چندهدفه، جواب بهینه جوابی است که هیچ یک از مؤلفه‌هایش نمی‌توانند بهبود یابند مگر این‌که حداقل یکی دیگر از مؤلفه‌هایش بدتر شود. این تعریف برای اولین بار در سال ۱۸۸۱ توسط ادوارت مطرح شد اما چون ویلفردو پارتو اقتصاد دان ایتالیایی-فرانسوی، آن‌را در سال ۱۸۹۶ توسعه داد، به این تعریف اغلب بهینگی پارتو گویند.
در مسائل بهینه‌سازی معمولی فرض می‌کنیم همه ضرایب در توابع به‌صورت قطعی باشند. اما در واقعیت به دلیل این‌که تصمیم‌گیرنده اطلاعات دقیقی در دست ندارد یا نمی‌تواند آن‌ها را به‌صورت قطعی بیان کند، معمولا این مسائل را به‌صورت بازه ای بیان می‌کنند.